千文網(wǎng)小編為你整理了多篇相關(guān)的《函數(shù)極限的性質(zhì)證明(合集)》，但愿對你工作學(xué)習(xí)有幫助，當(dāng)然你在千文網(wǎng)還可以找到更多《函數(shù)極限的性質(zhì)證明(合集)》。
第一篇：函數(shù)極限證明
函數(shù)極限證明
記g(x)=lim^(1/n)，n趨于正無窮;
下面證明limg(x)=max{a1,...am},x趨于正無窮。把max{a1,...am}記作a。
不妨設(shè)f1(x)趨于a;作b>a>=0,M>1;
那么存在N1,當(dāng)x>N1,有a/MN2時，0Ni時，0
那么當(dāng)x>N,有
(a/M)^n
第二篇：函數(shù)極限的性質(zhì)
§3.2 函數(shù)極限的性質(zhì)
§2 函數(shù)極限的性質(zhì)
Ⅰ. 教學(xué)目的與要求
1.理解掌握函數(shù)極限的唯一性、局部有界性、局部保號性、保不等式性，迫斂性定理并會利用這些定理證明相關(guān)命題. 2.掌握函數(shù)極限四則運算法則、迫斂性定理,會利用其求函數(shù)極限. Ⅱ. 教學(xué)重點與難點:
重點: 函數(shù)極限的性質(zhì). 難點: 函數(shù)極限的性質(zhì)的證明及其應(yīng)用. Ⅲ. 講授內(nèi)容
在§1中我們引入了下述六種類型的函數(shù)極限：
1)limf?x? ；2)limf?x?；3)limf?x?
x???x???x???f?x?；
6)limf?x?。 4)limf?x?； 5)lim??x?x0x?x0x?x0它們具有與數(shù)列極限相類似的一些性質(zhì)，下面以第4)種類型的極限為代表來敘述并證明這些性質(zhì)．至于其他類型極限的性質(zhì)及其證明，只要相應(yīng)地作些修改即可.
定理3．2(唯一性) 若極限limf?x?存在，則此極限是唯一的．
x?x0
證
設(shè)?,?都是f當(dāng)x?x0時的極限，則對任給的??0，分別存在正數(shù)
?1與?2，使得當(dāng)0?x?x0??1時有
f?x????? ，
(1)
當(dāng)0?x?x0??2時有
f?x????? ，
(2)
取??min??1,?2?，則當(dāng)0?x?x0??時，(1)式與(2)式同時成立，故有
????(f?x???)??f?x?????f?x????f?x????2?
由?的任意性得???，這就證明了極限是唯一的.
定理3。3（局部有限性）若limf?x?存在，則f在x0的某空心鄰域U0?x0?內(nèi)有界．
x?x0
證
設(shè)limf?x???．取??1，則存在??0使得對一切x?U0?x0;??有
x?x0
f?x????1?f?x????1 這就證明了f在U0?x0;??內(nèi)有界．
§3.2 函數(shù)極限的性質(zhì)
定理3．4(局部保號性) 若limf?x????0 (或?0)，則對任何正數(shù)r??（或
x?x0r???)，存在U0?x0?，使得對一切x?U0?x0?有
f?x??r?0（或f?x???r?0）
證
設(shè)??0，對任何r?(0,?)，取????r，則存在??0，使得對一切
x?U0?x0;??
f?x??????r，
這就證得結(jié)論．對于??0的情形可類似地證明．
注
在以后應(yīng)用局部保號性時，常取r?A．
2x?x0定理3．5(保不等式性) 設(shè)limf?x?與都limg?x?都存在，且在某鄰域U0x0;?'內(nèi)
x?x0??有f?x??g?x?則
limf?x??limg?x?
（３）
x?x0x?x0
證
設(shè)
limf?x?=?，limg?x?=?，則對任給的??0，分別存在正數(shù)?1與?2使x?x0x?x0得當(dāng)0?x?x0??1時有
????f?x?，
當(dāng)0?x?x0??2 時有
g?x?????
令??min?',?1,?2，則當(dāng)0?x?x0??時，不等式f?x??g?x?與(4)、(5)兩式同時成立，于是有
????f?x??g?x?????
從而????2?．由?的任意性推出???，即(3)式成立．
定理3．6(迫斂性) 設(shè)limf?x?=limg?x?=Ａ，且在某U0x0;?'內(nèi)有
x?x0x?x0????
f?x??則limh?x???．
x?x0h?x??g?x?
證
按假設(shè)，對任給的??0，分別存在正數(shù)?1與?2，使得當(dāng) 0?x?x0??1時有，
§3.2 函數(shù)極限的性質(zhì)
????f?x?
(7)
當(dāng)0?x?x0??2時有
g?x?????
(8)
令??min?,?1,?2，則當(dāng)0?x?x0??時，不等式(6)、(7)、(8)同時成立， 故有
????f?x??h?x??g?x????? 由此得h?x?????，所以limh?x???
x?x0?'?
定理3．7（四則運算法則）若極限limf?x?與limg?x?都存在，則函數(shù)
x?x0x?x0f?g,f?g當(dāng)x?x0時極限也存在，且
1)lim?f?x??g?x???limf?x??limg?x?；
x?x0x?x0x?x02）lim?f?x?g?x???x?x0x?x0limf?x?．limg?x?；
x?x0 又若limg?x??0，則f|g當(dāng)x?x0時極限存在，且有
x?x03）limx?x0f?x??g?x?x?x0limf?x?limg?x?．
x?x0
這個定理的證明類似于數(shù)列極限中的相應(yīng)定理，留給學(xué)生作為練習(xí)．
利用函數(shù)極限的迫斂性與四則運算法則，我們可從一些簡單的函數(shù)極限出發(fā)，計算較復(fù)雜的函數(shù)極限．
例 1求limx??x?0?x?解
當(dāng)x?0時有
1?x?x???1，
?x??1?
?1??1?x?1?故由迫斂性得：
xlim
而limx??=1
?0?x?0??x?另一方面，當(dāng)x?0有1?x???1?x，故又由迫斂性又可得：
lim x???1 ?
x?0
?x??x?綜上，我們求得lim x???1
x?0?x?
?1??1??1??1?§3.2 函數(shù)極限的性質(zhì)
例 2求lim?xtanx?1?x??
4解由xtanx?xsinx及§1例4所得的， cosxsixn?sin?
limx???442?limcoxs，
?2x?4并按四則運算法則有
limsinx?xtanx?1?=limx?
limx?x?
?4?4x??4limcosx
x?
1=?lim?x?4???1 44例 3求lim?3??1?3?．
x??1x?1x?1??解 當(dāng)x?1?0時有
?x?1??x?2??x?
213?3?x?1x?1x3?1x2?x?1故所求的極限等于
x?2?1?2???1 2x??1x2?x?1??1????1??1lim例4
證明lima?1?a?1? xx?0
證
任給??0 (不妨設(shè)??1)，為使
x
a?1??
（9）
即1???a?1??，利用對數(shù)函數(shù)loga
loga?1????x?loga?1??? 于是，令
x（當(dāng)a?1時）的嚴格增性，只要
??min?loga?1???,?loga?1????，
則當(dāng)0?x??時，就有(9)式成立，從而證得結(jié)論．
Ⅳ 小結(jié)與提問:本節(jié)要求學(xué)生理解掌握函數(shù)極限的性質(zhì)，并利用其討論相關(guān)命題.指導(dǎo)學(xué)生對定理的應(yīng)用作總結(jié). Ⅴ 課外作業(yè): P51
2、
3、
5、
7、
8、9.
第三篇：函數(shù)極限
習(xí)題
1.按定義證明下列極限:
(1) limx???6x?5=6 ;(2) lim(x2-6x+10)=2; x?2x
x2?5?1 ;(4) lim?(3) lim2x???x?1x?2
(5) limcos x = cos x0 x?x04?x2=0;
2.根據(jù)定義2敘述limf (x) ≠ A.x?x0
3.設(shè)limf (x) = A.,證明limf (x0+h) = A.x?x0h?0
4.證明:若limf (x) = A,則lim| f (x)| = |A|.當(dāng)且僅當(dāng)A為何值時反之也成立? x?x0x?x0
5.證明定理3.1
6.討論下列函數(shù)在x0→0 時的極限或左、右極限: (1)f(x)=x
x;(2) f(x) = [x]
?2x;x?0.?(3) f (x)=?0;x?0.
?1?x2,x?0.?
7.設(shè) limf (x) = A,證明limf (x???x?x01) = A x
8.證明:對黎曼函數(shù)R(x)有l(wèi)imR (x) = 0 , x0∈[0,1](當(dāng)x0=0或1時,考慮單側(cè)極限).x?x0
習(xí)題
1． 求下列極限：
x2?1 （1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim; ?x?02x2?x?1x?22
x2?1?x?1???1?3x?;
lim(3) lim;(4)
x?12x2?x?1x?0x2?2x3
xn?1(5) limm(n,m 為正整數(shù))；（6）lim
x?1xx?4?1
（7）lim
x?0
?2x?3x?2
70
；
20
a2?x?a?3x?6??8x?5?.
（a>0）;(8) lim
x???x5x?190
2． 利用斂性求極限： (1) lim
x???
x?cosxxsinx
;(2) lim2
x?0xx?4
x?x0
3． 設(shè) limf(x)=A, limg(x)=B.證明：
x?x0
（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;
x?x0
（2）lim[f(x)g(x)]=AB;
x?x0
（3）lim
x?x0
f(x)A
=(當(dāng)B≠0時) g(x)B
4． 設(shè)
a0xm?a1xm?1???am?1x?am
f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn?1
b0x?b1x???bn?1x?bn
試求 limf(x)
x???
5． 設(shè)f(x)>0, limf(x)=A.證明
x?x0
x?x0
lim
f(x)=A，
其中n≥2為正整數(shù).6.證明limax=1(0\n
x?0
7.設(shè)limf(x)=A, limg(x)=B.
x?x0
x?x0
(1)若在某∪(x0)內(nèi)有f(x)
（2）證明：若A>B,則在某∪(x0)內(nèi)有f(x) > g(x).8.求下列極限（其中n皆為正整數(shù)）： (1) lim ?
x?0
x
x11
lim;(2);nn?x?0x1?xx1?x
x?x2???xn?n
(3) lim ;(4) lim
x?0x?0x?1
?x?1
x
(5) lim
x??
?x?(提示：參照例1)
x
x?0
x?0
x?0
9．（1）證明：若limf (x3)存在，則limf (x)= lim f (x3)（2）若limf (x2)存在，試問是否成立limf (x) =limf (x2) ?
x?0
x?0
x?0
習(xí)題
1.敘述函數(shù)極限limf(x)的歸結(jié)原則,并應(yīng)用它證明limcos x不存在.
n???
n???
2.設(shè)f 為定義在[a,+?)上的增(減)函數(shù).證明: lim= f(x)存在的充要條件是f在
n???
[a,+?)上有上(下)界.
3.(1)敘述極限limf (x)的柯西準(zhǔn)則;
n???
(2)根據(jù)柯西準(zhǔn)則敘述limf (x)不存在的充要條件,并應(yīng)用它證明limsin x不存在.
n???
n???
4.設(shè)f在∪0(x0)內(nèi)有定義.證明:若對任何數(shù)列{xn}?∪0(x0)且limxn=x0,極限limf(xn)都
n??
n??
存在,則所有這極限都相等.
提示: 參見定理3.11充分性的證明.
5設(shè)f為∪0(x0)上的遞減函數(shù).證明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0) =supf(x),f(x0+0)=
0x?u?
?x0?
0x?un(x0)
inff (x)
6.設(shè) D(x)為狄利克雷函數(shù),x0∈R證明limD(x)不存在.
x?x0
7.證明:若f為周期函數(shù),且limf(x)=0,則f(x)=0
x???
8.證明定理3.9
習(xí)題
1.求下列極限
sin2xsinx3
(1) lim;(2) lim
x?0x?0sinx2x
(3) lim
x?
cosxx?
?
tanx?sinxarctanx
lim(5) lim;(6) ; 3x?0x?0xx
sin2x?sin2a1
(7) limxsin ;(8) lim;
x???x?axx?a
;(4) lim
x?0
tanx
; x
?cosx2
(9) lim;(10) lim
x?0x?01?cosxx?1?1
sin4x
2.求下列極限
12?x
(1) lim(1?);(2) lim?1?ax?x(a為給定實數(shù));
n??x?0x
x
(3) lim?1?tanx?
x?0
cotx
;(4) lim?
?1?x?
?;
x?01?x??
(5) lim(
x???
3x?22x?1?
);(6) lim(1?)?x(?,?為給定實數(shù))
n???3x?1x
3.證明:lim?lim?cosxcoxcos4.利用歸結(jié)原則計算下列極限: (1) limnsin
n??
?
x?0n??
??
?
x2
xx???cos?1 2n??22??
?
n
;(2)
習(xí)題
1． 證明下列各式
(1) 2x－x2=O(x) (x→0);(2)x sinx?O(x)(x→0);
+
(3)?x?1?o(1) (x→0);
(4) (1+x)n= 1+ nx+o (x) (x→0)(n 為正整數(shù)) (5) 2x3 + x2=O(x3)(x→∞) ;
(6) o (g(x))±o(g(x)) =o(g(x))(x→x0)
(7) o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0) 2． 應(yīng)用定理3.12求下列極限：
?x2?1x(1) lim(2)lim x?01?cosxx??x?cosx
x3． 證明定理3.13
4． 求下列函數(shù)所表示曲線的漸近線：
13x3?4
(1) y = ;(2) y = arctan x ;(3)y = 2
xx?2x
5． 試確定a的值，使下列函數(shù)與xa當(dāng)x→0時為同階無窮小量：
(1) sin2x－2sinx ;(2)
－ (1－x); 1?x
(3)?tanx??sinx;(4)
x2?4x3
6． 試確定a的值，使下列函數(shù)與xa當(dāng)x→∞時為同階無窮大量：
(1)
x2?x5;(2)x+x2 (2+sinx);
(3) (1+x)(1+x2)…(1+xn).
7． 證明：若S為無上界數(shù)集，則存在一遞增數(shù)列{xn}?s，使得xn→+∞(n→∞)
8． 證明：若f為x→r時的無窮大量，而函數(shù)g在某U0(r)上滿足g(x)≥K>0，則fg為x→r
時的無窮大量。
9． 設(shè) f(x)~g(x) (x→x0)，證明：
f ( x )－g ( x ) = o ( f ( x ) )或 f ( x )－g ( x ) = o ( g ( x ) )
總 練 習(xí) 題
1． 求下列極限：
?1
(x?[x])lim([x]?1)(1) lim;(2)??
x?3
x?1
(3) lim(
x???
a?xb?x?a?xb?x)
xx?a
(4) lim
x???
(5)lim
xx?a
x???
(6) lim
?x??x?x??x
x?0
(7) lim?
n??m
,m,n 為正整數(shù) ?n?x?11?xm1?x??
2． 分別求出滿足下述條件的常數(shù)a與b：
?x2?1?
(1) lim??ax?b???0 x????x?1??
x(3) limx
(2) lim
x???x???x?2
??x?1?ax?b??0
?x?1?ax?b?0
x?2
3． 試分別舉出符合下列要求的函數(shù)f：
(1) limf(x)?f(2)；(2) limf(x)不存在。
4． 試給出函數(shù)f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一點x0處有l(wèi)imf(x)?0。這同極限的
x?x0
局部保號性有矛盾嗎？
5． 設(shè)limf(x)?A，limg(u)?B，在何種條件下能由此推出
x?a
g?A
limg(f(x))?B?
x?a
6． 設(shè)f (x)=x cos x。試作數(shù)列
(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0 (n→∞); (2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0 (n→∞); (3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0 (n→∞).
7． 證明：若數(shù)列{an}滿足下列條件之一，則{an}是無窮大數(shù)列：
(1) liman?r?1
n??
(2) lim
an?1
?s?1(an≠0,n=1,2,…)
n??an
n2
n2
8． 利用上題（1）的結(jié)論求極限：
(1) lim?1?
?n??
?1??1??(2) lim?1??
n??n??n?
9． 設(shè)liman???，證明
n??
(1) lim
(a1?a2???an)??? n??n
n??
(2)若an > 0(n=1,2,…),則lima1a2?an??? 10.利用上題結(jié)果求極限：
(1)limn!(2) lim
n??
In(n!)
n??n
11.設(shè)f為U-0(x0)內(nèi)的遞增函數(shù)。證明：若存在數(shù)列{xn}?U-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得
limf(xn)?A，則有
n??
f (x0－0) =
supf(x)?A
0x?U?(x0)
12.設(shè)函數(shù)f在(0,+∞)上滿足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)?A。證明：f(x)?A，x∈(0,+∞)
x???
13.設(shè)函數(shù)f在(0,+∞)此上滿足方程f (x2) = f (x)，且
f(x)=limf(x)?f(1)lim?
x?0
x???
證明：f(x)?f(1)，x∈(0,+∞)
14.設(shè)函數(shù)f定義在(a,+∞)上，f在每一個有限區(qū)間內(nèi)(a,b)有界，并滿足
x???
lim(f(x?1)?f(1))?A證明
x???
lim
f(x)
?A x
