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第一篇：函數極限

《數學分析》教案

第三章 函數極限

xbl

第三章 函數極限

教學目的：

1.使學生牢固地建立起函數極限的一般概念，掌握函數極限的基本性質； 2.理解并運用海涅定理與柯西準則判定某些函數極限的存在性； 3.掌握兩個重要極限

和

，并能熟練運用；

4.理解無窮小（大）量及其階的概念，會利用它們求某些函數的極限。 教學重（難）點：

本章的重點是函數極限的概念、性質及其計算；難點是海涅定理與柯西準則的應用。

教學時數：16學時

§ 1 函數極限概念 （3學時）

教學目的：使學生建立起函數極限的準確概念；會用函數極限的定義證明函數極限等有關命題。

教學要求：使學生逐步建立起函數極限的???定義的清晰概念。會應用函數極限的???定義證明函數的有關命題，并能運用???語言正確表述函數不以某實數為極限等相應陳述。

教學重點：函數極限的概念。

教學難點：函數極限的???定義及其應用。

一、復習：數列極限的概念、性質等

二、講授新課：

（一） 時函數的極限：

- 21 《數學分析》教案

第三章 函數極限

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例4 驗證

例5 驗證

例6 驗證

證 由 =

為使

需有

需有

為使

于是, 倘限制 , 就有

例7 驗證

例8 驗證 ( 類似有

（三）單側極限:

1．定義：單側極限的定義及記法. 幾何意義: 介紹半鄰域

- 23 《數學分析》教案

第三章 函數極限

xbl

我們引進了六種極限: .以下以極限

,

為例討論性質.均給出證明或簡證.

二、講授新課：

（一）函數極限的性質: 以下性質均以定理形式給出.

1.唯一性:

2.

局部有界性:

3.

局部保號性:

4.

單調性( 不等式性質 ):

Th 4 若使 ，證 設

和都有 =

( 現證對 都存在, 且存在點

的空心鄰域

,

有

註: 若在Th 4的條件中, 改“ 就有

5.6. 以

迫斂性:

”為“ 舉例說明.

”, 未必

四則運算性質: ( 只證“+”和“ ”)

（二）利用極限性質求極限： 已證明過以下幾個極限：

- 25 《數學分析》教案

第三章 函數極限

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例8

例9

例10 已知

求和

補充題:已知

求和 (

) § 3 函數極限存在的條件（4學時）

教學目的：理解并運用海涅定理與柯西準則判定某些函數極限的存在性。 教學要求：掌握海涅定理與柯西準則，領會其實質以及證明的基本思路。 教學重點：海涅定理及柯西準則。 教學難點：海涅定理及柯西準則 運用。

教學方法：講授為主，輔以練習加深理解，掌握運用。 本節(jié)介紹函數極限存在的兩個充要條件.仍以極限

為例.

一.

Heine歸并原則——函數極限與數列極限的關系：

Th 1 設函數在,對任何在點

且

的某空心鄰域

內有定義.則極限都存在且相等.( 證 )

存Heine歸并原則反映了離散性與連續(xù)性變量之間的關系,是證明極限不存在的有力工具.對單側極限,還可加強為

單調趨于

.參閱[1]P70.例1 證明函數極限的雙逼原理.

- 27 《數學分析》教案

第三章 函數極限

xbl

教學難點：兩個重要極限的證明及運用。

教學方法：講授定理的證明，舉例說明應用，練習。 一．

（證） （同理有

）

例1

例2 .例3

例4

例5 證明極限 不存在.二.

證 對

有

例6

特別當 等.例7

例8

- 28

29 《數學分析》教案

第三章 函數極限

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三． 等價無窮?。?/p>

Th 2 ( 等價關系的傳遞性 ). 等價無窮小在極限計算中的應用: Th 3 ( 等價無窮小替換法則 )

幾組常用等價無窮小: （見[2]）

例3 時, 無窮小

與

是否等價? 例4

四.無窮大量:

1.定義:

2.性質:

性質1 同號無窮大的和是無窮大.

性質2 無窮大與無窮大的積是無窮大. 性質3 與無界量的關系.

無窮大的階、等價關系以及應用, 可仿無窮小討論, 有平行的結果.

3.無窮小與無窮大的關系:

無窮大的倒數是無窮小,非零無窮小的倒數是無窮大

習 題 課（2學時）

一、理論概述：

- 31 《數學分析》教案

第三章 函數極限

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例7 .求

.注意 時, 且

.先求

由Heine歸并原則

即求得所求極限

.

例8 求是否存在.

和.并說明極限

解 ;

可見極限 不存在.

- - 32

高數極限證明

重要極限證明

極限證明（共8篇）

證明函數fx

凸函數證明

第二篇：函數極限證明

函數極限證明

記g(x)=lim[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n)，n趨于正無窮;

下面證明limg(x)=max{a1,...am},x趨于正無窮。把max{a1,...am}記作a。

不妨設f1(x)趨于a;作b>a>=0,M>1;

那么存在N1,當x>N1,有a/M<=f1(x) 注意到f2的極限小于等于a，那么存在N2，當x>N2時，0<=f2(x) 同理，存在Ni，當x>Ni時，0<=fi(x) 取N=max{N1,N2...Nm};

那么當x>N,有

(a/M)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n 所以a/M<=[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n)

第三篇：函數極限

習題

1.按定義證明下列極限:

(1) limx???6x?5=6 ;(2) lim(x2-6x+10)=2; x?2x

x2?5?1 ;(4) lim?(3) lim2x???x?1x?2

(5) limcos x = cos x0 x?x04?x2=0;

2.根據定義2敘述limf (x) ≠ A.x?x0

3.設limf (x) = A.,證明limf (x0+h) = A.x?x0h?0

4.證明:若limf (x) = A,則lim| f (x)| = |A|.當且僅當A為何值時反之也成立? x?x0x?x0

5.證明定理3.1

6.討論下列函數在x0→0 時的極限或左、右極限: (1)f(x)=x

x;(2) f(x) = [x]

?2x;x?0.?(3) f (x)=?0;x?0.

?1?x2,x?0.?

7.設 limf (x) = A,證明limf (x???x?x01) = A x

8.證明:對黎曼函數R(x)有l(wèi)imR (x) = 0 , x0∈[0,1](當x0=0或1時,考慮單側極限).x?x0

習題

1． 求下列極限：

x2?1 （1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim; ?x?02x2?x?1x?22

x2?1?x?1???1?3x?;

lim(3) lim;(4)

x?12x2?x?1x?0x2?2x3

xn?1(5) limm(n,m 為正整數)；（6）lim

x?1xx?4?1

（7）lim

x?0

?2x?3x?2

70

；

20

a2?x?a?3x?6??8x?5?.

（a>0）;(8) lim

x???x5x?190

2． 利用斂性求極限： (1) lim

x???

x?cosxxsinx

;(2) lim2

x?0xx?4

x?x0

3． 設 limf(x)=A, limg(x)=B.證明：

x?x0

（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;

x?x0

（2）lim[f(x)g(x)]=AB;

x?x0

（3）lim

x?x0

f(x)A

=(當B≠0時) g(x)B

4． 設

a0xm?a1xm?1???am?1x?am

f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn?1

b0x?b1x???bn?1x?bn

試求 limf(x)

x???

5． 設f(x)>0, limf(x)=A.證明

x?x0

x?x0

lim

f(x)=A，

其中n≥2為正整數.6.證明limax=1(0\n

x?0

7.設limf(x)=A, limg(x)=B.

x?x0

x?x0

(1)若在某∪(x0)內有f(x)

（2）證明：若A>B,則在某∪(x0)內有f(x) > g(x).8.求下列極限（其中n皆為正整數）： (1) lim ?

x?0

x

x11

lim;(2);nn?x?0x1?xx1?x

x?x2???xn?n

(3) lim ;(4) lim

x?0x?0x?1

?x?1

x

(5) lim

x??

?x?(提示：參照例1)

x

x?0

x?0

x?0

9．（1）證明：若limf (x3)存在，則limf (x)= lim f (x3)（2）若limf (x2)存在，試問是否成立limf (x) =limf (x2) ?

x?0

x?0

x?0

習題

1.敘述函數極限limf(x)的歸結原則,并應用它證明limcos x不存在.

n???

n???

2.設f 為定義在[a,+?)上的增(減)函數.證明: lim= f(x)存在的充要條件是f在

n???

[a,+?)上有上(下)界.

3.(1)敘述極限limf (x)的柯西準則;

n???

(2)根據柯西準則敘述limf (x)不存在的充要條件,并應用它證明limsin x不存在.

n???

n???

4.設f在∪0(x0)內有定義.證明:若對任何數列{xn}?∪0(x0)且limxn=x0,極限limf(xn)都

n??

n??

存在,則所有這極限都相等.

提示: 參見定理3.11充分性的證明.

5設f為∪0(x0)上的遞減函數.證明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0) =supf(x),f(x0+0)=

0x?u?

?x0?

0x?un(x0)

inff (x)

6.設 D(x)為狄利克雷函數,x0∈R證明limD(x)不存在.

x?x0

7.證明:若f為周期函數,且limf(x)=0,則f(x)=0

x???

8.證明定理3.9

習題

1.求下列極限

sin2xsinx3

(1) lim;(2) lim

x?0x?0sinx2x

(3) lim

x?

cosxx?

?

tanx?sinxarctanx

lim(5) lim;(6) ; 3x?0x?0xx

sin2x?sin2a1

(7) limxsin ;(8) lim;

x???x?axx?a

;(4) lim

x?0

tanx

; x

?cosx2

(9) lim;(10) lim

x?0x?01?cosxx?1?1

sin4x

2.求下列極限

12?x

(1) lim(1?);(2) lim?1?ax?x(a為給定實數);

n??x?0x

x

(3) lim?1?tanx?

x?0

cotx

;(4) lim?

?1?x?

?;

x?01?x??

(5) lim(

x???

3x?22x?1?

);(6) lim(1?)?x(?,?為給定實數)

n???3x?1x

3.證明:lim?lim?cosxcoxcos4.利用歸結原則計算下列極限: (1) limnsin

n??

?

x?0n??

??

?

x2

xx???cos?1 2n??22??

?

n

;(2)

習題

1． 證明下列各式

(1) 2x－x2=O(x) (x→0);(2)x sinx?O(x)(x→0);

+

(3)?x?1?o(1) (x→0);

(4) (1+x)n= 1+ nx+o (x) (x→0)(n 為正整數) (5) 2x3 + x2=O(x3)(x→∞) ;

(6) o (g(x))±o(g(x)) =o(g(x))(x→x0)

(7) o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0) 2． 應用定理3.12求下列極限：

?x2?1x(1) lim(2)lim x?01?cosxx??x?cosx

x3． 證明定理3.13

4． 求下列函數所表示曲線的漸近線：

13x3?4

(1) y = ;(2) y = arctan x ;(3)y = 2

xx?2x

5． 試確定a的值，使下列函數與xa當x→0時為同階無窮小量：

(1) sin2x－2sinx ;(2)

－ (1－x); 1?x

(3)?tanx??sinx;(4)

x2?4x3

6． 試確定a的值，使下列函數與xa當x→∞時為同階無窮大量：

(1)

x2?x5;(2)x+x2 (2+sinx);

(3) (1+x)(1+x2)…(1+xn).

7． 證明：若S為無上界數集，則存在一遞增數列{xn}?s，使得xn→+∞(n→∞)

8． 證明：若f為x→r時的無窮大量，而函數g在某U0(r)上滿足g(x)≥K>0，則fg為x→r

時的無窮大量。

9． 設 f(x)~g(x) (x→x0)，證明：

f ( x )－g ( x ) = o ( f ( x ) )或 f ( x )－g ( x ) = o ( g ( x ) )

總 練 習 題

1． 求下列極限：

?1

(x?[x])lim([x]?1)(1) lim;(2)??

x?3

x?1

(3) lim(

x???

a?xb?x?a?xb?x)

xx?a

(4) lim

x???

(5)lim

xx?a

x???

(6) lim

?x??x?x??x

x?0

(7) lim?

n??m

,m,n 為正整數 ?n?x?11?xm1?x??

2． 分別求出滿足下述條件的常數a與b：

?x2?1?

(1) lim??ax?b???0 x????x?1??

x(3) limx

(2) lim

x???x???x?2

??x?1?ax?b??0

?x?1?ax?b?0

x?2

3． 試分別舉出符合下列要求的函數f：

(1) limf(x)?f(2)；(2) limf(x)不存在。

4． 試給出函數f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一點x0處有l(wèi)imf(x)?0。這同極限的

x?x0

局部保號性有矛盾嗎？

5． 設limf(x)?A，limg(u)?B，在何種條件下能由此推出

x?a

g?A

limg(f(x))?B?

x?a

6． 設f (x)=x cos x。試作數列

(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0 (n→∞); (2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0 (n→∞); (3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0 (n→∞).

7． 證明：若數列{an}滿足下列條件之一，則{an}是無窮大數列：

(1) liman?r?1

n??

(2) lim

an?1

?s?1(an≠0,n=1,2,…)

n??an

n2

n2

8． 利用上題（1）的結論求極限：

(1) lim?1?

?n??

?1??1??(2) lim?1??

n??n??n?

9． 設liman???，證明

n??

(1) lim

(a1?a2???an)??? n??n

n??

(2)若an > 0(n=1,2,…),則lima1a2?an??? 10.利用上題結果求極限：

(1)limn!(2) lim

n??

In(n!)

n??n

11.設f為U-0(x0)內的遞增函數。證明：若存在數列{xn}?U-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得

limf(xn)?A，則有

n??

f (x0－0) =

supf(x)?A

0x?U?(x0)

12.設函數f在(0,+∞)上滿足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)?A。證明：f(x)?A，x∈(0,+∞)

x???

13.設函數f在(0,+∞)此上滿足方程f (x2) = f (x)，且

f(x)=limf(x)?f(1)lim?

x?0

x???

證明：f(x)?f(1)，x∈(0,+∞)

14.設函數f定義在(a,+∞)上，f在每一個有限區(qū)間內(a,b)有界，并滿足

x???

lim(f(x?1)?f(1))?A證明

x???

lim

f(x)

?A x