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習題1?3
1.根據函數極限的定義證明:
(1)lim(3x?1)?8;x?3
(2)lim(5x?2)?12;x?2
x2?4??4;(3)limx??2x?2
1?4x3
(4)lim?2.
x??2x?12
1證明 (1)分析 |(3x?1)?8|?|3x?9|?3|x?3|, 要使|(3x?1)?8|?? , 只須|x?3|??.3
1證明 因為?? ?0, ????, 當0?|x?3|??時, 有|(3x?1)?8|?? , 所以lim(3x?1)?8.x?33
1(2)分析 |(5x?2)?12|?|5x?10|?5|x?2|, 要使|(5x?2)?12|?? , 只須|x?2|??.5
1證明 因為?? ?0, ????, 當0?|x?2|??時, 有|(5x?2)?12|?? , 所以lim(5x?2)?12.x?25
(3)分析
|x?(?2)|??.x2?4x2?4x?4x2?4?(?4)??|x?2|?|x?(?2)|, 要使?(?4)??, 只須x?2x?2x?2
x2?4x2?4?(?4)??, 所以lim??4.證明 因為?? ?0, ????, 當0?|x?(?2)|??時, 有x??2x?2x?2
(4)分析 1?4x3111?4x31?2??, 只須|x?(?)|??.?2?|1?2x?2|?2|x?(?)|, 要使2x?12x?1222
1?4x3111?4x3
?2??, 所以lim證明 因為?? ?0, ????, 當0?|x?(?)|??時, 有?2.12x?12x?122x??2.根據函數極限的定義證明:
(1)lim1?x3
2x3
sinxx???1;2(2)limx???x?0.
證明 (1)分析
|x|?1
1?x32x311?x3?x3??22x3?12|x|3, 要使1?x32x3?11??, 只須??, 即322|x|2?.
證明 因為?? ?0, ?X?(2)分析
sinxx?0?
12?
, 當|x|?X時, 有1x
1?x32x311?x31???, 所以lim?.
x??2x322
1x
??, 即x?
sinxx
|sinx|x
?, 要使
sinx
證明 因為???0, ?X?
?2
, 當x?X時, 有
xsinxx
?0??, 只須
?
.
?0??, 所以lim
x???
?0.
3.當x?2時,y?x2?4.問?等于多少, 使當|x?2|\n
解 由于x?2, |x?2|?0, 不妨設|x?2|?1, 即1?x?3.要使|x2?4|?|x?2||x?2|?5|x?2|?0.001, 只要
|x?2|?
0.001
?0.0002, 取??0.0002, 則當0?|x?2|??時, 就有|x2?4|?0.001.5
x2?1x?
34.當x??時, y?
x2?1x2?3
?1, 問X等于多少, 使當|x|>X時, |y?1|\n
解 要使?1?
4x2?3
?0.01, 只|x|?
?3?397, X?.0.01
5.證明函數f(x)?|x| 當x?0時極限為零.
x|x|
6.求f(x)?, ?(x)?當x?0時的左﹑右極限, 并說明它們在x?0時的極限是否存在.
xx
證明 因為
x
limf(x)?lim?lim1?1,
x?0?x?0?xx?0?x
limf(x)?lim?lim1?1,
x?0?x?0?xx?0?limf(x)?limf(x),??
x?0
x?0
所以極限limf(x)存在.
x?0
因為
lim?(x)?lim??
x?0
x?0
|x|?x
?lim??1,?x?0xx|x|x?lim?1,xx?0?x
lim?(x)?lim??
x?0
x?0
lim?(x)?lim?(x),??
x?0
x?0
所以極限lim?(x)不存在.
x?0
7.證明: 若x???及x???時, 函數f(x)的極限都存在且都等于A, 則limf(x)?A.
x??
證明 因為limf(x)?A, limf(x)?A, 所以??>0,
x???
x???
?X1?0, 使當x??X1時, 有|f(x)?A|?? ;?X2?0, 使當x?X2時, 有|f(x)?A|?? .
取X?max{X1, X2}, 則當|x|?X時, 有|f(x)?A|?? , 即limf(x)?A.
x??
8.根據極限的定義證明: 函數f(x)當x?x0 時極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等.
證明 先證明必要性.設f(x)?A(x?x0), 則??>0, ???0, 使當0\n
|f(x)?A|\n
因此當x0??\n
|f(x)?A|\n
這說明f(x)當x?x0時左右極限都存在并且都等于A .再證明充分性.設f(x0?0)?f(x0?0)?A, 則??>0,??1>0, 使當x0??10, 使當x0\n
取??min{?1, ?2}, 則當0\n
| f(x)?A|\n
即f(x)?A(x?x0).
9.試給出x??時函數極限的局部有界性的定理, 并加以證明.
解 x??時函數極限的局部有界性的定理? 如果f(x)當x??時的極限存在? 則存在X?0及M?0? 使當|x|?X時? |f(x)|?M?
證明 設f(x)?A(x??)? 則對于? ?1? ?X?0? 當|x|?X時? 有|f(x)?A|?? ?1? 所以|f(x)|?|f(x)?A?A|?|f(x)?A|?|A|?1?|A|?
這就是說存在X?0及M?0? 使當|x|?X時? |f(x)|?M? 其中M?1?|A|?
