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第一篇：角形全等的證明專題

戴雨靜數(shù)學(xué)專題輔導(dǎo)資料2010年7月16日星期五星海學(xué)校

三角形全等的證明專題

線段相等的特征，還在于全等三角形能把已知的線段相等、角相等與未知的結(jié)論聯(lián)系起來(lái)．那么我們應(yīng)該怎樣應(yīng)用三角形全等的判別方法呢？

（1）條件充足時(shí)直接應(yīng)用

在證明與線段或角相等的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常常需要先證明線段或角所在的兩個(gè)三角形全等，而從近年的中考題來(lái)看，這類試題難度不大，證明兩個(gè)三角形的條件比較充分．只要同學(xué)們認(rèn)真觀察圖形，結(jié)合已知條件分析尋找

A兩個(gè)三角形全等的條件即可證明兩個(gè)三角形全等．

例1 已知：如圖1，CE⊥AB于點(diǎn)E，BD⊥AC于點(diǎn)D，BD、CE交于點(diǎn)O，且AO平分∠BAC．

ED那么圖中全等的三角形有___對(duì)．

O

BC

（2）條件不足，會(huì)增加條件用判別方法

此類問(wèn)題實(shí)際是指條件開(kāi)放題，即指題中沒(méi)有確定的已知條件或已知條件不充分，需要補(bǔ)充使三角形全等的條件．解這類問(wèn)題的基本思路是：執(zhí)果索因，逆向思維，逐步 分析，探索結(jié)論成立的條件，從而得出答案．

例2 如圖2，已知AB=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，B還需添加的條件是（只需填一個(gè)）_____．

D

A

EC

（3）條件比較隱蔽時(shí)，可通過(guò)添加輔助線用判別方法

在證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，當(dāng)邊或角的關(guān)系不明顯時(shí)，可通過(guò)添加 輔助線作為橋梁，溝通邊或角的關(guān)系，使條件由隱變顯，從而順利運(yùn)用 全等三角形的判別方法證明兩個(gè)三角形全等．

例3 已知：如圖3，AB=AC，∠1=∠2． 求證：AO平分∠BAC．

分析：要證AO平分∠BAC，即證∠BAO=∠BCO，要證∠BAO=∠BCO，只需證∠BAO和∠BCO所在的兩

個(gè)三角形全等．而由已知條件知，只需再證明BO=CO即可．

A

1O

2BC

C

D

（4）條件中沒(méi)有現(xiàn)成的全等三角形時(shí)，會(huì)通過(guò)構(gòu)造全等三角形用判別方法有些幾何問(wèn)題中，往往不能直接證明一對(duì)三角形全等，E一般需要作輔助線來(lái)構(gòu)造全等三角形．

例4 已知：如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，BAF

AC=BC，D為BC的中點(diǎn)，CE⊥AD于E，交AB于F，連接DF．

求證：∠ADC=∠BDF． G

說(shuō)明：常見(jiàn)的構(gòu)造三角形全等的方法有如下三種：①涉及三角形的中線問(wèn)題時(shí)，常采用延長(zhǎng)中線一倍的方法，構(gòu)造出一對(duì)全等三角形；②涉及角平分線問(wèn)題時(shí)，經(jīng)過(guò)角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線，可以得到一對(duì)全等三角形；③證明兩條線段的和等于第三條線段時(shí)，用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法可以構(gòu)造一對(duì)全等三角形．

（5）會(huì)在實(shí)際問(wèn)題中用全等三角形的判別方法

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，注意培養(yǎng)同學(xué)們應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，形成解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力﹒在近年中考出現(xiàn)的與全等三角形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，體現(xiàn)了這一數(shù)學(xué)理念，應(yīng)當(dāng)引起同學(xué)們的重視．

例5要在湖的兩岸A、B間建一座觀賞橋，由于條件

限制，無(wú)法直接度量A，B兩點(diǎn)間的距離﹒請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的數(shù)

學(xué)知識(shí)按以下要求設(shè)計(jì)一測(cè)量方案﹒

(1)畫出測(cè)量圖案﹒

(2)寫出測(cè)量步驟（測(cè)量數(shù)據(jù)用字母表示）﹒圖

5(3)計(jì)算A、B的距離（寫出求解或推理過(guò)程，結(jié)果用字母表示）﹒

分析：可把此題轉(zhuǎn)化為證兩個(gè)三角形全等．第(1)題，測(cè)量圖案如圖5所示．第(2)題，測(cè)量步驟：先在陸地上找到一點(diǎn)O，在AO的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)C，并測(cè)得OC=OA，在BO的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，并測(cè)得OD=OB，這時(shí)測(cè)得CD的長(zhǎng)為a，則AB的長(zhǎng)就是a．第(3)題易證△AOB≌△COD，所以AB=CD，測(cè)得CD的長(zhǎng)即可得AB的長(zhǎng)．

解：(1)如圖6示．

(2)在陸地上找到可以直接到達(dá)A、B的一點(diǎn)O，在AO的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)C，并測(cè)得OC＝OA，在BO的AB延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，并測(cè)

得OD＝OB，這時(shí)測(cè)出CD的長(zhǎng)為a，則AB的長(zhǎng)就是a．

(3)理由：由測(cè)法可得OC=OA，OD=OB．

O又∠COD=∠AOB，∴△COD≌△AOB．

∴CD=AB=a． CD

（注意書寫格式和書寫過(guò)程，一定要嚴(yán)謹(jǐn)?。?/p>

圖6

評(píng)注：本題的背景是學(xué)生熟悉的，提供了一個(gè)學(xué)生動(dòng)手操作的機(jī)會(huì)，重點(diǎn)考查了學(xué)生的操作能力，培養(yǎng)了

學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)﹒

練習(xí)

1．已知：如圖，D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，AB∥FC，DF交AC于點(diǎn)E，DE=FE．A

D求證：AE=CE．E F

BC

2．如圖，在△ABC中，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)D在AE上，已知∠ABD=∠ACD，∠BDE=∠CDE．

A求證：BD=CD．

D

BCE

3．用有刻度的直尺能平分任意角嗎？下面是一種方法：如圖所示，先在∠AOB的兩邊上取OP=OQ，A再取PM=QN，連接PN、QM，得交點(diǎn)C，則射線OC

平分∠AOB．你能說(shuō)明道理嗎？M

PC

OQNB

4．如圖，△ABC中，AB=AC，過(guò)點(diǎn)A作GE∥BC，角平分線BD、CF相交于點(diǎn)H，它們的延長(zhǎng)線分別交GE于點(diǎn)E、G．試在圖10中找出3對(duì)全等三角形，并對(duì)其中一對(duì)全等三角形給出證明．

P A

GE

FH

ACDBBC

5．已知：如圖，點(diǎn)C、D在線段AB上，PC=PD．請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使圖中存在全等三角形，并給予證A明．所添?xiàng)l件為_(kāi)_________，你得到的一對(duì)全等三角形是△_____≌△_____．

7．如圖，在△ABD和△ACD中，AB=AC，∠B=∠C．求證：△ABD≌△ACD．

BC

8．如圖14，直線AD與BC相交于點(diǎn)O，且AC=BD，AD=BC．求證：CO=DO．DCD

O

BA

9．已知△ABC，AB=AC，E、F分別為AB和AC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且BE=CF，EF交BC于G．求證：EG=GF．A

E C BG FA10．已知：如圖16，AB=AE，BC=ED，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，AF⊥CD．求證：∠B=∠E．

B

E

CFD

11．如圖17，某同學(xué)把一把三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊大小形狀完全一樣的玻璃，那么

最省事的辦法是（）﹒

(A)帶①和②去(B)帶①去(C)帶②去(D)帶③去

12．有一專用三角形模具，損壞后，只剩下如圖中的陰影部分，你對(duì)圖中做哪些數(shù)據(jù)度量后，就可以重新制作一塊與原模具完全

一樣的模具，并說(shuō)明其中的道理．

全等三角形證明題

全等證明

《全等三角形的判定》教案

全等三角形判定教學(xué)設(shè)計(jì)

三角形證明（共20篇）

第二篇：證明三角形全等

全等三角形問(wèn)題中常見(jiàn)的輔助線的作法

一、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等

例

2、如圖，△ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，D是中點(diǎn)，試比較BE+CF與EF的大小.例

3、如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分∠BAE.A

二、截長(zhǎng)補(bǔ)短

1、如圖，?ABC中，AB=2AC，AD平分?BAC，且AD=BD，求證：CD⊥AC

E

F

B

D

C

2、如圖，AC∥BD，EA,EB分別平分∠CAB,∠DBA，CD求證;AB＝AC+BD

A

3、如圖，已知在?ABC內(nèi)，?BAC?60，?C?400，P，Q分別 在BC，CA上，并且AP，BQ分別是?BAC，?ABC的角平分線。

C

A

BDEC

B

應(yīng)用：

1、（09崇文二模）以?ABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt?ABD和等腰Rt?ACE，?BAD??CAE?90?,連接DE，M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)．探究：AM與DE的位置關(guān)系及

求證：BQ+AQ=AB+BP

數(shù)量關(guān)系．

（1）如圖① 當(dāng)?ABC為直角三角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是；

（2）將圖①中的等腰Rt?ABD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)?(0

?

C

4、如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分?ABC，求證： ?A??C?180

C

5、如圖在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任意一點(diǎn)，求證;AB-AC＞PB-PC

A

四、借助角平分線造全等

1、如圖，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平

應(yīng)用：

分線AD,CE相交于點(diǎn)O，求證：OE=OD

B

B

C

2、如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.A

（1）說(shuō)明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的長(zhǎng).B

G

C

F

D

三、平移變換

例1 AD為△ABC的角平分線，直線MN⊥AD于A.E為MN上一點(diǎn)，△ABC周長(zhǎng)記為PA，△EBC周長(zhǎng)記為PB.求證PB＞PA.應(yīng)用：

1、如圖①，OP是∠MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：

（1）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請(qǐng)問(wèn)，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。

例2 如圖，在△ABC的邊上取兩點(diǎn)D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE.A

圖①

B

M

P N

圖②

D C

D

BDE

C

圖③

C

五、旋轉(zhuǎn)

例1 正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù).例2 D為等腰Rt?ABC斜邊AB的中點(diǎn)，DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。(1)當(dāng)?MDN繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF。(2)若AB=2，求四邊形DECF的面積。

3、在等邊?ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為?ABC外一點(diǎn)，且

??

當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、?MDN?60,?BDC?120,BD=DC.探究：

MN之間的數(shù)量關(guān)系及?AMN的周長(zhǎng)Q與等邊?ABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系．

A

D

F

B

E

C

A

例3 如圖，?ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，?BDC是等腰三角形，且?為頂點(diǎn)做一個(gè)600角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，則?AMN的周長(zhǎng)為；

2、（西城09年一模）已知以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).(1)如圖,當(dāng)∠APB=45°時(shí),求AB及PD的長(zhǎng);

(2)當(dāng)∠APB變化,且其它條件不變時(shí),求PD的最大值,及相應(yīng)∠APB的大小.圖1圖2圖

3（I）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是； 此時(shí)

QL

?；

（II）如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DM?DN時(shí)，猜想（I）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；

（III）如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AN=x，則Q=（用

． x、L表示）

B

C