千文網(wǎng)小編為你整理了多篇相關(guān)的《求三角形面積——海倫公式共五則范文(范文五篇)》，但愿對(duì)你工作學(xué)習(xí)有幫助，當(dāng)然你在千文網(wǎng)還可以找到更多《求三角形面積——海倫公式共五則范文(范文五篇)》。

第一篇：角形面積公式教案

課題: §1. 2解三角形應(yīng)用舉例

教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法進(jìn)一步解決有關(guān)三角形的問題, 掌握三角形的面積公式的簡(jiǎn)單推導(dǎo)和應(yīng)用

過程與方法：本節(jié)課補(bǔ)充了三角形新的面積公式，引導(dǎo)學(xué)生證明，同時(shí)總結(jié)出該公式的特點(diǎn)，循序漸進(jìn)地具體運(yùn)用于相關(guān)的題型。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識(shí)，加深對(duì)所學(xué)定理的理解，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學(xué)生在探究中體驗(yàn)愉悅的成功體驗(yàn)

教學(xué)重點(diǎn)：

推導(dǎo)三角形的面積公式并解決簡(jiǎn)單的相關(guān)題目。

教學(xué)難點(diǎn)：

三角形面積公式與正弦余弦定理的綜合應(yīng)用。

教學(xué)過程： Ⅰ.課題導(dǎo)入

師：以前我們就已經(jīng)接觸過了三角形的面積公式，今天我們來學(xué)習(xí)它的另一個(gè)表達(dá)公式。

121推導(dǎo)出下面的三角形面積公式，S=absinC，大家能推出其它的幾個(gè)公式嗎？

211生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB 22根據(jù)以前學(xué)過的三角形面積公式S=ah,應(yīng)用以上求出的高的公式如ha=bsinC代入，可以Ⅱ.講授新課

[范例講解] 例

1、在?ABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S （1）已知a=5cm,c=7cm,B=60?; （2）已知B=30?,C=45?,b=2cm; （3）已知三邊的長(zhǎng)分別為a=3cm,b=5cm,c=7cm

分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問題，與解三角形問題有密切的關(guān)系，我們可以應(yīng)用解三角形面積的知識(shí)，觀察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面積。

例

2、（1）銳角?ABC中，S=33，BC=4，CA=3，求角C 與c邊。

變式：?ABC中，S=33，BC=4，CA=3，求角C與c邊。 （2）?ABC中a=2，B=練習(xí)：課本P18練習(xí)2

3?,S=,解三角形。

23

例3.如圖,在某市進(jìn)行城市環(huán)境建設(shè)中,要把一個(gè)三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園,經(jīng)過測(cè)量得到這個(gè)三角形區(qū)域的三條邊長(zhǎng)分別為60m,100m,140m,這個(gè)區(qū)域的面積是多少？

Ⅲ.課時(shí)小結(jié)

（1） 三角形面積公式正用和逆用。

（2） 三角形面積公式在實(shí)際問題中的應(yīng)用。 Ⅳ.課后作業(yè): (1)：已知在?ABC中，?C=120?,b=6,c=63,求a及?ABC的面積S (2): 已知在?ABC中，a,b,c是角A,B,C的對(duì)邊，?ABC的面積為S,若a=4,b=5,S=53,求c的長(zhǎng)。

第二篇：海倫公式與四邊形面積公式

海倫公式與四邊形面積公式

2007年08月01日 星期三 00:43 我們知道，已知三角形的三條邊長(zhǎng)度a，b，c（2p＝a+b+c），就可以由海倫公式得到三角形的面積：

所以：已知圓內(nèi)接三角形的三邊長(zhǎng)，其面積公式為海倫公式。事實(shí)上，對(duì)于圓內(nèi)接四邊形，已知其四邊形的四邊長(zhǎng)（不妨設(shè)其為a，b，c，d，2p＝a+b+c+d），也可以求其面積，而且公式的形式與海倫公式相類似：

證明：

設(shè)圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，設(shè)∠BAD=θ，則∠BCD=180°-θ，設(shè)其對(duì)角線BD＝x，由余弦定理有：

聯(lián)立兩式解得：

第三篇：海倫公式

海倫公式

與海倫在他的著作"Metrica"(《度量論》）中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設(shè)三角形的三邊a、b、c的對(duì)角分別為A、B、C，則余弦定理為下述推導(dǎo)[1]

cosC = (a^2+b^2-c^2）/2ab

S=1/2*ab*sinC

=1/2*ab*√（1-cos^2 C)

=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2]

=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2）^2]

=1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2）（2ab-a^2-b^2+c^2）]

=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]

=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

設(shè)p=(a+b+c)/2

則p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,

上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]

=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

所以，三角形ABC面積S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

證明⑵

中國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶在1247年也提出了“三斜求積術(shù)”。它與海倫公式基本一樣，其實(shí)在《九章算術(shù)》中，已經(jīng)有求三角形公式“底乘高的一半”，在實(shí)際丈量土地面積時(shí)，由于土地的面積并不是三角形，要找出它來并非易事。所以他們想到了三角形的三條邊。如果這樣做求三角形的面積也就方便多了。但是怎樣根據(jù)三邊的長(zhǎng)度來求三角形的面積？直到南宋，中國(guó)著名的數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”。

秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜?！靶g(shù)”即方法。三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相減后余數(shù)的一半，自乘而得一個(gè)數(shù)，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個(gè)。相減后余數(shù)被4除，所得的數(shù)作為“實(shí)”，作1作為“隅”，開平方后即得面積。

所謂“實(shí)”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p為“隅”，q為“實(shí)”。以△、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜，所以

q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}

當(dāng)P=1時(shí)，△ 2=q,

△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}

因式分解得

△ ^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2）^2]

=1/4[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2]

=1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)

=1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)

=1/4[2p（2p-2a）（2p-2b）（2p-2c)]

=p(p-a)(p-b)(p-c)

由此可得：

S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中p=1/2(a+b+c)

這與海倫公式完全一致，所以這一公式也被稱為“海倫－秦九韶公式”。

S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2} .其中c>b>a.

根據(jù)海倫公式，我們可以將其繼續(xù)推廣至四邊形的面積運(yùn)算。如下題：

已知四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四邊形ABCD的面積

這里用海倫公式的推廣

S圓內(nèi)接四邊形= 根號(hào)下（p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p為周長(zhǎng)一半，a,b,c,d，為4邊）

代入解得s=8√ 3

證明⑶

在△ABC中∠A、∠B、∠C對(duì)應(yīng)邊a、b、c

O為其內(nèi)切圓圓心，r為其內(nèi)切圓半徑，p為其半周長(zhǎng)

有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1

r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2）=r

∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2

∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2）

=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2

=ptanA/2tanB/2tanC/2

=r

∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3

∴S^2=p^2r^2=(pr^3）/(tanA/2tanB/2tanC/2）

=p(p-a)(p-b)(p-c)

∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)

第四篇：求三角形面積——海倫公式

證明：海倫公式：若ΔABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c，則

SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4(這是海倫公式的變形，“負(fù)號(hào)“－”從a左則向右經(jīng)過a、b、c”，負(fù)號(hào)從x軸負(fù)軸向正軸掃描一個(gè)周期！我覺得這么記更簡(jiǎn)單，還設(shè)個(gè)什么l=(a+b=c)/2啊，多此一舉！)

證明：設(shè)邊c上的高為 h,則有

√(a^2－h(huán)^2)＋√(b^2－h(huán)^2)=c

√(a^2－h(huán)^2)=c－√(b^2－h(huán)^2)

兩邊平方，化簡(jiǎn)得：

2c√(b^2－h(huán)^2)=b^2+c^2-a^2

兩邊平方，化簡(jiǎn)得：

h=√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))

SΔABC=ch/2

=c√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))/2

仔細(xì)化簡(jiǎn)一下，得：

SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4

用三角函數(shù)證明！

證明：

SΔABC=absinC/2

=ab√(1-(cosC)^2)/2————（1）

∵cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)

∴代入（1）式，（仔細(xì)）化簡(jiǎn)得：

SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4

第五篇：海倫公式的證明方法:利用邊求三角形面積

篇一：利用三邊求三角形面積的幾種方法

龍?jiān)雌诳W(wǎng) .cn

利用三邊求三角形面積的幾種方法

作者：陳林真

來源：《新課程學(xué)習(xí)?上》2013年第12期

已知三邊長(zhǎng)求三角形的面積在解三角形問題中比較常見，本文將常用的幾種方法總結(jié)如下。

一、根據(jù)勾股定理的逆定理判斷是否為直角三角形

四、利用海倫公式直接求三角形的面積

（作者單位 甘肅省隴西縣第二中學(xué)）

篇二：求三角形面積――海倫公式

證明：海倫公式：若ΔABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c，則

SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4(這是海倫公式的變形，“負(fù)號(hào)“－”從a左則向右經(jīng)過a、b、c”，負(fù)號(hào)從x軸負(fù)軸向正軸掃描一個(gè)周期！我覺得這么記更簡(jiǎn)單，還設(shè)個(gè)什么l=(a+b=c)/2啊，多此一舉！)

證明：設(shè)邊c上的高為 h,則有

√(a^2－h(huán)^2)＋√(b^2－h(huán)^2)=c

√(a^2－h(huán)^2)=c－√(b^2－h(huán)^2)

兩邊平方，化簡(jiǎn)得：

2c√(b^2－h(huán)^2)=b^2+c^2-a^2

兩邊平方，化簡(jiǎn)得：

h=√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))

SΔABC=ch/2

=c√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))/2

仔細(xì)化簡(jiǎn)一下，得：

SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4

用三角函數(shù)證明！

證明：

SΔABC=absinC/2

=ab√(1-(cosC)^2)/2――――（1）

∵cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)

∴代入（1）式，（仔細(xì)）化簡(jiǎn)得：

SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4

篇三：海倫公式及其證明方法

海倫公式及其證明方法

海倫公式：

1??=，其中??= ??+??+??

如圖

在△ABC中，過A作高AD交BC于D 設(shè)BD = x，那么DC = a-x

由于AD是△ABD、△ACD的公共邊

?2=??2???2=??2? ????? 2

解出x得

??2???2+??2

??= 于是

2???2+??2???= ??2? 2

△ABC的面積

2???2+??211????=???=??? ??2?2

即

122??2+??2???2??= ?????令

1??= ??+??+?? 對(duì)被開方數(shù)分解因式，并整理得到